初学讲义之高中数学二十四：导数

　　备注：知乎专栏更新了数理化生四科的基础讲义，更加完善的第二版已经更新，并且附上可以直接下载打印的PDF文档，里面可能还有一些小的笔误，订正后会再更新。

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　　导数是函数，完整地叫应该是“导函数”，通常习惯叫“导数”，它是依附于原函数存在的函数。

　　导数表示函数的变化趋势，既可以表示函数整体的变化趋势，也可以表示部分的变化趋势，还可以表示某个点的变化趋势。

　　关于导数严谨的定义、是否存在的判别、计算和使用会在大学重头开始详细学习，高中只要简单地知道导数表示变化率、会求导数、会简单地用导数分析函数的性质即可。

　　函数f(x)的导数通常用f(x)来表示，在f的右上角加上小撇。

　　小学数学就学过速度，也叫速率，表示运动物体运动的距离随时间的变化率，s=vt的公式大家都会。

　　高中物理开始严谨一些，会更专业地区分“位移”“速度”（向量）和“距离”“速率”（无方向的标量），公式还是s=vt，但是表示的内容不同了。

　　一辆小车在水平直线上匀速运动，它运动的速率v是不变的，因此运动的距离与时间成正比，也就是s=vt，这里，速率v就是距离s随t的变化率，距离s可以看作是时间t的函数。

　　为了方便起见，我们用x代表时间（代替t），f(x)代表距离，就是函数：f(x)=vx

　　这里v就是函数的变化率，该函数的导数就是：f(x)=v（后面会学如何求导）

　　表示在任何时刻，小车距离变化的趋势都是v，时间每增加一个小小的x，距离就增加vx

　　初中物理开始学的难一些了，开始学速度随时间变化的运动了，比如自由落体运动，涉及到两个公式：

　　公式v=gt的含义大家应该都清楚，g是重力加速度，约为9.8m/s^{2}，表示自由落体运动的物体的速度每秒会增加9.8m/s

　　还是为了方便起见，我们用x代表时间（代替t），g(x)代表速度，9.8代替g，上述公式就是函数：g(x)=9.8x

　　对该函数求导可得：g(x)=9.8，这就是速度的变化趋势，任何时候速度都有随着时间增加9.8m/s^{2}的趋势

　　另一个公式s=gt^{2}/2就要稍微麻烦点了，它表示物体从静止开始自由落体下落的距离和时间的关系

　　例1中我们用f(x)代替了距离s，这里也这么做；例1和上面都用x代替时间t，这里也这么做；也用具体数字9.8代替g，上述公式就变成了函数：

　　对这个函数求导可得：f(x)=9.8x（具体如何求导后面会讲，这里先用结论），这就是下落距离随时间变化的关系，有没有觉得眼熟？

　　再回想例1中讲到的速度的定义：距离随时间的变化率，这里f(x)就是距离随时间的变化率，也就是g(x)

　　自由落体运动的速度随时间改变，除了用加速度乘以时间外，直接对距离-时间的函数求导，得到的就是距离-时间的变化率，也就是速度。

　　基本函数导数的推导超出了高中的要求，内容比较多，需要花相当时间和精力理解，对高考的帮助接近于零，因此不再给出，需要牢牢地记下来。

　　以下基本函数都是最最基本的函数，也就是说除了x和必须的部分外，不能有其他任何“杂质”。

　　这很容易理解，常数函数的值是常数不发生变化，也不随着x变化而变化，变化率就是0。

　　举例如下图：f(x)=1（左图，黑色），f(x)=0（右图，红色）

　　这个公式可以理解为“降了一级”，就是任何单项式函数，取一次导数，就在它的前面乘以原次数，然后把次数减一。

　　以下是上面几个例子像，要留意相同x值对应的原函数值和导数的值（e用2.71828近似）：

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　　当x＜0时，f(x)＜0，函数是递减的，且当x越大（负数绝对值越小）时，函数递减得越慢

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　　函数的定义域x∈[0，+∞)，导数在x=0处无意义原函数是递增的，从图像上看增加得越来越慢

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　　这个没太多好说的，导数＞0，原函数是递增的；并且导数是递增的，原函数越增越快

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　　原函数分为两段：当x∈（-∞，0）时，函数值＜0，并且是单调递减的（负数绝对值越来越大）

　　当x∈（-∞，0）时，导数值＜0，印证原函数递减，并且导数值递减，说明原函数越减越快（负数绝对值越增越快）

　　当x∈（0，+∞）时，导数值还是＜0，印证原函数还是递减，但此时导数值递增，说明原函数越减越慢

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　　这个跟例4：f(x)=x^{3.5}类似，主要是说明下指数是无理数的情况

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　　可以看出，导数的图像和原函数很像的，就是低了些，因为它多了系数ln2（约为0.693）导数恒＞0，原函数是递增的

　　不知道有没有细心的同学注意到，在2.2 单项式函数的导数中，几乎全部的系数都被考虑到了，只有一个例外，就是当系数为0的情况，此时是常数函数。

　　但是对函数求导后，导数的次数也覆盖了几乎所有的次数，但是有个例外，就是次数为-1的情况，也就是对于任何基本的单项式函数求导，都得不到形如x^{-1}的导数。

　　因为按照求导公式，当次数为0时，导数的次数是0-1=-1，但实际上当次数为0时，常数函数的导数恒为0。

　　根据导数的性质（后面会讲），函数整体乘以一个常数，则它的导数就是原函数的导数乘以那个常数因此f(x)=lnx/lna的导数就是

　　可以看出，两个函数都是递增的，它们的导数也都是正的两个函数递增得越来越慢（图像越来越“趴下”），导数也都是逐渐减小的当x＞1时，0＜f(x)＜g(x)，因为g(x)=f(x)/ln2，而ln2＜1

　　这里面前2个最重要，需要牢记，也最容易记。后面4个可以通过很重要同时也很基本的运算推导出来，后面会讲

　　对反三角函数，要特别留意他们的定义域和值域，对他们的导数也是如此由于反三角函数的导数的题目并不多，训练的机会有限，因此更要牢记！

　　稍微复杂点的情况接下来马上就讲最后，也是最重要的，由于导数是新接触的运算，没有学习运算的本质推导，因此一定要多做题，增加熟练度，至少要达到与指数对数运算相当的熟练程度。

　　的导数就不能用这个方法来求而是要先化成常数*原函数的形式：g(x)=2^{10}*x^{10}

　　的导数就不能用这个方法来求，可以把它化为：g(x)=ln2+lnx，分别求导后相加（3.2中马上会讲）

　　多个函数相乘的求导，就需要一步一步算了，先把一个剥离出来，其余的看做整体；然后把其余的剥离出来一个，其余的其余看做一个整体......直到最后只剩两个，然后依次计算

　　（这里中括号小括号比较多，一层套一层，又是f(x)g(x)h(x)k(x)的，容易搞混和看晕，建议亲自手写分解下）

　　很容易用数学归纳法证明，多个函数相乘的求导，就是对其中的每个函数求导，与其他的原函数相乘，然后加起来

　　相除并不是简单的乘以相反数，虽然事实上可以这么做，可是很多复杂函数的相反数就更复杂了，相除的下小节就讲

　　这个记起来要麻烦些，仍然是一个求导乘以另一个不求导，区别在于是相减，并且分母还要平方。

　　先对最外的三次方求导，再对下一层的ln求导，再对下一层的sin求导，再对最后的二次方求导

　　如果函数在某个区间内导数恒＞0，则函数在这个区间内是单调递增的；如果函数在某个区间内导数恒＜0，则函数在这个区间内是单调递减的；

　　当x＞1时，f(x)＞0，函数单调递增；当x＜1时，f(x)＜0，函数单调递减

　　对于二次函数这种简单又熟悉的函数来说，导数并没有显得很好用，下面来看个稍微复杂些的

　　可以据此判断，函数在定义域内只有这一个导数为0的点。并且由于函数在定义域内处处导数都有意义，因此

　　这里的取值有个小技巧：要么尽量取极端的数字，比如很大或很小的数字；要么取很好算的数字，比如0、1之类的

　　时，函数单调递减f(1)=2-1=1＞0（是不是很好算），因此当x＞1/\sqrt{2}时，函数单调递增

　　上面的例子中由于出现了对数，因此判断上较为麻烦，大多数例子中往往可以用简单的或特殊的数字很容易进行判断，比如下面这个例子：

　　也就是说函数的单调区间分别为(-∞，-2)（-2，2/3）（2/3，﹢∞）三个

　　因此函数在(-∞，-2)递增，在（-2，2/3）递减，在（2/3，﹢∞）递增

　　就是我们通常认为的函数的最大值、最小值，也就是整个函数上面函数值最大或最小的点，有的函数有，有的没有比如二次函数如果二次项系数为正，就有最小值没有最大值；如果二次项系数为负，就有最大值没有最小值

　　并且，同一个函数的极大值不一定就比极小值小，因为极大值极小值只反应这个点本身和它附近的情况

　　在某处f(x)=0，且f(x)＜0，那么该处就是函数的极大值；在某处f(x)=0，且f(x)＞0，那么该处就是函数的极小值；对于该处导数不存在，那就不能用这个方法，只能试了。

　　由于函数在(-∞，-2)递增，在（-2，2/3）递减，在（2/3，﹢∞）递增当x非常非常负，比如-00时，函数值是非常非常小，肯定比f(2/3)要小，因此f(2/3)不是函数的最小值

　　同理，当x非常非常大，比如时，函数值非常非常大，肯定比f(-2)大，因此f(-2)不是函数的最大值该函数的最大最小值不存在

　　在最开始的几章里，已经讲了一些基本函数的图像，如果遇到相对复杂一些的函数，该怎么画出它们的图像呢？这里简单讲下几个实用的步骤：

　　主要有以下几个点：与x轴的交点、与y轴的交点、导数为0的点、函数无定义的点（比如分母为0）

　　根据导数为0的点和无定义的点，把函数分段，然后分别求这几段区间内导数的正负，从而确定函数的单调性

　　二阶导数为正的区间，函数的曲线是开口向上的（类似于指数函数的图像，越增越快或越减越慢）

　　二阶导数为负的区间，函数的曲线是开口向下的（类似于对数函数的图像，越增越慢或越减越快）

　　然而指数和对数是基于乘法和幂运算的，有基础可循。导数在高中数学中不讲推导，只是生硬简单粗浅地介绍概念，直接讲公式和运算规律，因此掌握起来更难。不过即便学会推导过程，对记忆公式也没有很大帮助，还是得靠多练。

　　导数虽然很新，感觉上很难，但其实具体题目的难点并不在导数的运算上，而是主要在于知道怎么运用导数来判断单调性和大小等函数的性质。

　　有兴趣和空闲详细学习了解推导过程的同学，推荐《普林斯顿微积分读本》（美国人Adrian Banner著），这本书是教材中比较容易理解的。弹性垫圈凸缘轴承